Nos estudos dos circuitos de corrente alternada, a tensão eficaz é de grande importância. Sendo assim, vamos entender o que ela é e de onde vem a sua dedução.

Conceitos importantes

Tensão eficaz

Resumidamente, a tensão eficaz é a tensão alternada equivalente a uma tensão contínua para um circuito cuja potência média gasta é a mesma nos dois casos (alternada e contínua). Ou seja: considere um circuito de corrente contínua com um gasto de 10W a uma tensão de 5v. Para alimentar este circuito com uma fonte alternada (senoide por exemplo) e ter a mesma potência média gasta, precisaríamos alimentar o circuito com uma tensão eficaz de 5v.

Como a rede alternada fornece apenas a tensão de pico (valor máximo da senoide), precisamos achar a relação entre a tensão eficaz e a tensão máxima da rede. Antes disso, é importante ver alguns conceitos básicos.

Senoide

Antes de entender efetivamente o que é a tensão eficaz, vamos relembrar o conceito de senoide (representação da função seno), que é a forma como a tensão alternada é apresentada. Para isso, considere a seguinte função seno:

f(t) = A*sen(ωt + Θ)

A função acima possui os seguintes parâmetros:

  • A que é a constante que multiplica a função. Essa constante define o valor máximo da senoide, já que a função seno retorna valores entre -1 e 1. E o valor máximo será quando seno for -1 ou 1 resultando em -A ou A. Então podemos chamá-la de Vmáx.
  • t que é a variável associada a função.
  • ω que é a frequência angular da senoide (variação do ângulo de acordo com o círculo trigonométrico) dada em radianos/s.
    • ω=2πf. Logo este termo tem uma relação direta com a frequência da senoide, e, logicamente, com o período. Como é sabido o período de uma função seno é 2π. Portanto, ela se repete de 2π em 2π.
  • Θ (theta) que é o angulo que a função está deslocada. Se Θ=π/2 (90º), então a função está deslocada 90º para frente. Para simplificar o entendimento, considerarei Θ=0 no restante do post.

E a representação desta função está mostrada abaixo:

função seno

Valor médio

O entendimento do valor médio nos permitirá compreender os cálculos e os resultados da dedução. Sendo assim, podemos definir o valor médio de uma função periódica (seno por exemplo) como sendo: a soma de todos os valores infinitesimais contidos no intervalo de um período (T), divididos pelo próprio período (T).

E, de acordo com o cálculo, a soma dos valores infinitesimais de uma função em um determinado intervalo é justamente a integral definida da função no dado intervalo. Portanto, a fórmula do valor médio da função seno mostrada anteriormente é:

Vmed = \frac{1}{T}*\int_{0}^{T}Vmax*sen(wt) dt

No caso da senoide o período é 2π e a fórmula final é:

Vmed = \frac{1}{2\pi}*\int_{0}^{2\pi}Vmax*sen(wt) dt

A integral acima é facilmente calculada, e o valor final é 0. Outra forma de enxergar o valor dado é considerar a definição de integral como sendo a área entre a curva da função e o eixo x. Neste caso, a área sobre a senoide na parte positiva (0 a 180º) é igual a área da região negativa (180 a 360º). Portanto, o valor final tem que ser 0 mesmo. A imagem abaixo ilustra o que foi falado.

área sob a senoide

Fizemos estes cálculos para melhorar o entendimento dos conceitos que serão mostrados nos tópicos seguintes.

Dedução da tensão/corrente eficaz

Circuito de exemplo

Para mostrar a dedução, considere os dois circuitos, equivalentes, em corrente contínua (CC) e corrente alternada (CA):

circuito com potências equivalentes

Nos dois casos, a resistência é a mesma, o que muda é a tensão, pois uma é constante e a outra varia com o tempo (senoidal). Mas, lembrando o que foi falado no início do post, para o cálculo da tensão eficaz, estamos considerando que a potência média gasta nos dois circuitos é a mesma.

Se a resistência for de um chuveiro, por exemplo, falar que a potência média é igual, é o mesmo que dizer que o circuito vai esquentar a água da mesma forma nos dois casos.

Vamos fazer uma rápida análise da potência média das duas situações.

Potência média em CC

Como a tensão é constante e R é idealmente constante neste caso, a potência também será constante. Logo, a potência média é exatamente igual à potência do circuito:

Pmed = V*i

Ou:

Pmed = \frac{V^{2}}{R}

Potência média em CA

Já no caso da corrente alternada, V varia ao longo do tempo, logo a potência também irá variar. Então, para calcular a potência média, devemos utilizar a integral como foi mostrado no tópico do valor médio. Sendo:

P(t) = \frac{ (V(t))^{2}}{R}

Então Pmédia será:

Pmed = \frac{\int_{0}^{T} \frac{(V(t))^{2}dt}{R}}{T}

Como R é constante, ela sai da integral:

Pmed = \frac{\int_{0}^{T} (V(t))^{2}dt}{RT}

Neste caso, o período não é necessariamente 2π, mas para os cálculos seguintes não será necessário saber seu valor.

Igualdade de potências

Agora que temos as fórmulas das duas potências médias, basta igualar as equações:

\frac{V^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} \frac{}{}(V(t))^{2}dt}{RT}

Cortando o R (já que são iguais) e tirando a raiz nos dois lados, ficamos com a equação da tensão eficaz ou tensão RMS:

Vrms = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} (V(t))^{2}dt}{T}}

O único passo faltante é a resolução da integral, mas a equação acima já é o formato RMS. Isso porque RMS significa Root Mean Square, que pode ser traduzido para Raiz quadrada da Média Quadrática. Ou seja, é a raiz quadrada da média (conforme foi visto anteriormente) ao quadrado.

No tópico do valor médio, a média calculada envolvia só V(t) e aqui nos temos V(t)². É por isso que fazer este cálculo faz sentido, já que o resultado da integral não será mais 0, pois os pontos negativos de V(t) ficarão positivos devido ao expoente 2 de V(t)².

A seguir, mostrarei o passo a passo da resolução da integral, mas fique à vontade para pular para o resultado final.

Resolvendo a integral

Considerando V(t) como sendo:

 V(t) = Vmáx*sen(ωt) = Vm*sen(ωt)

Vmáx na fórmula acima se refere à tensão máxima (que também é o valor máximo da senoide). Então, a integral fica:

Vrms = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} (Vm*sen(\omega t))^{2}dt}{T}}

Vm fica Vm² e sai da integral por ser uma constante:

Vrms = \sqrt{\frac{(Vm)^{2}\int_{0}^{T} (sen(\omega t))^{2}dt}{T}}

Vm² sai da raiz quadrada e fica apenas Vm. E a integral de sen(ωt)² é:

\int_{0}^{T} (sen(\omega t))^{2}dt} = (\frac{t}{2}-\frac{sen(2\omega t)}{4}) _{0}^{T}

Veja este site para entender de onde sai o resultado. Aplicando a integral no intervalo de 0 a T, temos a mesma equação:

\int_{0}^{T} (sen(\omega t))^{2}dt} = \frac{T}{2}-\frac{sen(2\omega T)}{4}

Voltando à equação da tensão eficaz (lembrando que Vm² saiu da raiz quadrada):

Vrms = Vm\sqrt{\frac{\frac{T}{2}-\frac{sen(2\omega T)}{4}}{T}}

Para o próximo passo, precisamos de manipular a equação do ω, considerando:

\omega = 2\pi f

e

f = \frac{1}{T}

Logo:

T = \frac{2\pi}{\omega}

Aplicando o termo acima à equação da tensão eficaz e distribuindo o denominador T (da equação de Vrms) nas duas frações:

Vrms = Vm\sqrt{{\frac{T}{2T}-\frac{sen(2\omega \frac{2\pi}{\omega})}{4T}}}

Na primeira fração, os T cortam e, na segunda, dentro do seno os ω também se cortam, sobrando:

Vrms = Vm\sqrt{{\frac{1}{2}-\frac{sen(4\pi)}{4T}}

O sen(4π) é possível de encontrar e seu valor é 0. Portanto, sobra apenas a primeira fração e temos o resultado final:

Vrms = \frac{Vm}{\sqrt{2}}

Conclusão

Tendo em vista o desenvolvimento anterior, temos que a tensão eficaz ou tensão RMS é:

Vrms = \frac{Vm}{\sqrt{2}}

Para o cálculo da corrente eficaz, a resolução é exatamente a mesma. O que muda é que lá em cima na fórmula da potência, consideramos Pmed = I²R. Da mesma forma, o R corta da equação e sobra apenas a raiz quadrada da média de I(t)². Sendo assim, é possível usar a mesma fórmula para encontrar a corrente eficaz:

Irms = \frac{Im}{\sqrt{2}}

Tanto Im quanto Vm são os valores máximos da função seno (a constante que multiplica a função). Por fim, se a função V(t) for uma cossenoide, o valor eficaz é exatamente o mesmo que o demonstrado acima.

Por fim, vale mencionar que a tensão da rede que está na tomada das casas é, normalmente, informada em seu valor eficaz. Por exemplo uma tomada com 127Vrms (valor comum da tensão das tomadas). Esta tomada na verdade apresenta uma tensão de pico (Vmax) de aproximadamente 180V. Para encontrar Vm é só usar a relação inversa da fórmula mostrada.

 

Enfim, recomendo ver este post sobre Dimmer, que é um dispositivo para variar a tensão RMS em cima da carga.

Inversor de tensão – conversor CC para CA